Resuelve 4x² + 16x + 7 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Calcula primero el discriminante. Con $a=4$, $b=16$, $c=7$,

   $b^{2}-4ac=16^{2}-4(4)(7)=256-112=144$

   Un cuadrado perfecto positivo significa dos raíces racionales distintas: funcionan tanto la fórmula general como la factorización, y la fórmula es la vía más mecánica.

2. 2

   Aplica la fórmula general.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-16\pm\sqrt{144}}{8}=\frac{-16\pm 12}{8}$

3. 3

   Evalúa las dos ramas.

   $x=\frac{-16+12}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac12,\qquad x=\frac{-16-12}{8}=\frac{-28}{8}=-\frac72$

   $\boxed{x=-\tfrac12\ \text{o}\ x=-\tfrac72}$

4. 4

   Contrasta factorizando. Como el discriminante era un cuadrado perfecto, la cuadrática factoriza sobre los racionales:

   $4x^{2}+16x+7=(2x+1)(2x+7)$

   Al desarrollar: $4x^{2}+14x+2x+7=4x^{2}+16x+7$ ✓, y al igualar cada paréntesis a cero se obtienen las mismas dos raíces.

5. 5

   Comprueba con las fórmulas de Vieta. Las raíces deben sumar $-b/a=-4$ y su producto debe ser $c/a=\tfrac74$: $-\tfrac12-\tfrac72=-4$ ✓ y $\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac74$ ✓. Que los dos signos salgan negativos también era previsible, ya que $b$ y $c$ son positivos con $a>0$.