Halla las soluciones de 7 + 2(5x + 2x²) = 16, dando cada respuesta como un radical en su forma más simple.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla el paréntesis y reúne todo en un miembro.

   $7+10x+4x^{2}=16\quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+10x-9=0.$

   Escribe los términos en potencias decrecientes para que los coeficientes $a=4$, $b=10$, $c=-9$ se lean de un vistazo.

2. 2

   Comprueba primero si factoriza. Harían falta dos enteros con producto $4\cdot(-9)=-36$ y suma $10$; las parejas más cercanas son $(-2,18)$ y $(12,-3)$, que suman $16$ y $9$. Ninguna sirve, así que las raíces son irracionales y la respuesta será de verdad un radical.

3. 3

   Calcula el discriminante.

   $b^{2}-4ac=10^{2}-4(4)(-9)=100+144=244.$

4. 4

   Simplifica el radical antes de dividir. $244=4\cdot 61$ y $61$ es primo, así que

   $\sqrt{244}=2\sqrt{61}.$

   Simplificar aquí es lo que permite que la fracción final se reduzca; dejar $\sqrt{244}$ tal cual da una respuesta correcta pero sin simplificar.

5. 5

   Aplica la fórmula general y cancela el factor común 2.

   $x=\frac{-10\pm 2\sqrt{61}}{2\cdot 4}=\frac{2\left(-5\pm\sqrt{61}\right)}{8}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{4}.$

6. 6

   Comprueba con Vieta y con una estimación decimal. Las dos raíces suman $\tfrac{-10}{4}=-2.5$ y su producto es $\tfrac{-9}{4}=-2.25$. Numéricamente $\sqrt{61}=7.8102$, así que las raíces son $0.70256$ y $-3.20256$; su suma da $-2.5$ y su producto $-2.25$, los dos correctos.