Resuelve 2x² − x − 15 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Prepara el método ac. Con $a=2$, $b=-1$, $c=-15$, busca dos números cuyo producto sea $ac=2(-15)=-30$ y cuya suma sea $b=-1$. Como $a\neq 1$, factorizar solo $c$ no funcionaría.

2. 2

   Encuentra la pareja. Entre las parejas de factores de $-30$ están $(1,-30),(2,-15),(3,-10),(5,-6),(6,-5),(10,-3)$. La que suma $-1$ es $5$ y $-6$.

3. 3

   Separa el término central y agrupa.

   $2x^{2}+5x-6x-15=0$

   $x(2x+5)-3(2x+5)=0$

   $(2x+5)(x-3)=0$

   Que el paréntesis $(2x+5)$ se repita confirma que la separación fue correcta.

4. 4

   Aplica la propiedad del producto nulo.

   $2x+5=0\Rightarrow x=-\frac52,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   $\boxed{x=3\ \text{o}\ x=-\tfrac52}$

5. 5

   Comprueba las dos raíces. En $x=3$: $2(9)-3-15=18-18=0$ ✓. En $x=-\tfrac52$: $2\left(\tfrac{25}{4}\right)+\tfrac52-15=\tfrac{25}{2}+\tfrac52-15=15-15=0$ ✓.

6. 6

   Confirma con Cardano-Vieta y con el discriminante. Las raíces deben sumar $-b/a=\tfrac12$ y multiplicarse hasta $c/a=-\tfrac{15}{2}$: $3-\tfrac52=\tfrac12$ ✓ y $3\left(-\tfrac52\right)=-\tfrac{15}{2}$ ✓. El discriminante $1+120=121=11^{2}$ es un cuadrado perfecto, que es justamente la razón por la que la cuadrática se pudo factorizar sobre los racionales.