Demuestra que x = 2 es raíz de (x² − 4x + 5)(2x² − 8x + 9) = 1 y que no hay otras raíces.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba x = 2 directamente.

   $4-8+5=1,\qquad 8-16+9=1$

   así que el producto vale $1\cdot 1=1$ ✓.

2. 2

   Completa el cuadrado en el primer factor. Ambos factores tienen el vértice en el mismo sitio, $x=2$, y eso es lo que hace funcionar el argumento:

   $x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1$

3. 3

   Completa el cuadrado en el segundo factor.

   $2x^{2}-8x+9=2\left(x^{2}-4x\right)+9=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+9=2(x-2)^{2}+1$

4. 4

   Acota inferiormente ambos factores por 1. Como $(x-2)^{2}\ge 0$ para todo $x$ real,

   $x^{2}-4x+5\ge 1,\qquad 2x^{2}-8x+9\ge 1$

   y en cada caso la igualdad se da solo en $x=2$.

5. 5

   Cierra con el argumento del producto. Un producto de dos números reales, cada uno $\ge 1$, es $\ge 1$, y vale $1$ solo si ambos valen $1$. Por tanto, la ecuación obliga a que $(x-2)^{2}=0$:

   $\boxed{x=2\text{ es la única raíz real}}$

6. 6

   Verifica con una sustitución. Sea $u=(x-2)^{2}\ge 0$. La ecuación queda $(u+1)(2u+1)=1$, es decir, $2u^{2}+3u=0$, o sea, $u(2u+3)=0$. Solo $u=0$ es admisible, lo que da $x=2$ ✓. Numéricamente, en $x=3$ el lado izquierdo vale $(2)(3)=6>1$ y en $x=1$ vale $(2)(3)=6>1$, lo que confirma que el mínimo se sitúa en $x=2$.