Simplifica (a − 2b)² + 8ab.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla el cuadrado. Usa $(p-q)^2=p^2-2pq+q^2$ con $p=a$, $q=2b$:

   $(a-2b)^2=a^2-2(a)(2b)+(2b)^2=a^2-4ab+4b^2$

2. 2

   Suma el término suelto y reduce los términos semejantes. Solo interactúan los términos en $ab$:

   $a^2-4ab+4b^2+8ab=a^2+4ab+4b^2$

   ya que $-4ab+8ab=4ab$.

3. 3

   Reconoce el resultado como un cuadrado perfecto. Ahora $a^2$, $4b^2=(2b)^2$ y el término central $2\cdot a\cdot 2b=4ab$ encajan todos en el patrón del cuadrado de una suma:

   $a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$

4. 4

   Observa la razón estructural. Los dos cuadrados $(a\pm 2b)^2$ se diferencian exactamente en $2\cdot 2\cdot(a)(2b)=8ab$:

   $(a+2b)^2-(a-2b)^2=8ab$

   así que sumar $8ab$ al cuadrado de la diferencia produce con seguridad el cuadrado de la suma. Esta identidad es el hecho general que hay detrás del problema.

5. 5

   Comprueba numéricamente. En $a=3$, $b=1$: la expresión original vale $(3-2)^2+24=1+24=25$, y $(3+2)^2=25$ $\checkmark$.