Factoriza x² + x - 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la búsqueda. Para una cuadrática mónica $x^{2}+bx+c$, la factorización es $(x+m)(x+n)$ con $mn=c$ y $m+n=b$. Aquí $c=-6$ y $b=+1$, así que hacen falta dos números con producto $-6$ y suma $1$.

2. 2

   Usa los signos para podar la lista. Un producto negativo significa que los dos números tienen signos opuestos. Una suma positiva pequeña indica que el positivo es mayor en valor absoluto — exactamente por $1$.

3. 3

   Prueba las parejas de signos opuestos que dan $-6$.

   $(1,-6)\to-5,\quad(6,-1)\to5,\quad(2,-3)\to-1,\quad(3,-2)\to1\ \checkmark$

   La pareja $3$ y $-2$ funciona: $3\times(-2)=-6$ ✓ y $3+(-2)=1$ ✓.

4. 4

   Escribe la factorización.

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

5. 5

   Verifica desarrollando. $(x+3)(x-2)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6$ ✓, confirmado en todos los enteros desde $-30$ hasta $29$ ✓. El discriminante $1+24=25=5^{2}$ es un cuadrado perfecto, lo que garantiza de antemano que existen factores enteros.

6. 6

   Lee las raíces y el comportamiento del signo. Los ceros son $x=-3$ y $x=2$. Como la parábola abre hacia arriba, $x^{2}+x-6<0$ exactamente en $(-3,2)$ y es positiva fuera. El vértice está en el punto medio $x=-\tfrac12$, donde el valor es $\tfrac14-\tfrac12-6=-\tfrac{25}{4}$ — el mínimo.