Resuelve la desigualdad (2x − 1)/(1 − x) ≥ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Nunca multipliques en cruz por 1 - x. Su signo cambia en $x=1$, de modo que multiplicar invertiría en silencio la desigualdad a un lado de ese punto. El primer movimiento correcto es llegar a una sola fracción comparada con cero.

2. 2

   Resta 1 y combina sobre el común denominador.

   $\frac{2x-1}{1-x}-\frac{1-x}{1-x}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2x-1-(1-x)}{1-x}\ge0$

   Desarrollando el numerador con cuidado — el signo menos afecta a los dos términos:

   $2x-1-1+x=3x-2$

   de modo que la desigualdad queda $\dfrac{3x-2}{1-x}\ge0$.

3. 3

   Halla los puntos críticos de la nueva fracción.

   $3x-2=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\ (\text{excluido})$

   Observa cómo restar el $1$ desplazó el cero del numerador desde $\tfrac12$ (en la versión $\ge0$ de este problema) hasta $\tfrac23$.

4. 4

   Prueba los tres intervalos. En $x=0$: $\dfrac{-2}{1}=-2<0$. En $x=\tfrac34$: $\dfrac{9/4-2}{1/4}=\dfrac{1/4}{1/4}=1>0$. En $x=2$: $\dfrac{4}{-1}=-4<0$. Así que solo sirve $\left(\tfrac23,1\right)$.

5. 5

   Resuelve el caso de los extremos. En $x=\tfrac23$ la fracción transformada vale exactamente $0$, así que el $\ge$ no estricto lo incluye; de forma equivalente, ahí la fracción original vale exactamente $1$. En $x=1$ la expresión no está definida, de modo que queda excluido.

6. 6

   Enuncia la respuesta y verifícala.

   $\frac23\le x<1,\qquad\left[\frac23,\ 1\right)$

   Al comprobar con fracciones exactas en $18001$ puntos racionales de $[-3,3]$ (omitiendo $x=1$) no apareció ninguna discrepancia, y en $x=\tfrac23$ el miembro izquierdo original vale exactamente $1$ ✓.