Factoriza por completo x² + 2x − 8y − 3xy − 4y².

Step-by-step solution

1. 1

   Ordenar los términos por grado total. Tres términos son de grado dos en $x$ e $y$ conjuntamente, y dos son de grado uno:

   $\underbrace{x^2-3xy-4y^2}_{\text{grado }2}+\underbrace{2x-8y}_{\text{grado }1}$

   Esta agrupación es la jugada clave: si toda la expresión se factoriza en dos paréntesis, la parte de grado dos tiene que ser el producto de sus partes principales.

2. 2

   Factorizar la parte cuadrática homogénea. Trátala como una cuadrática en $x$ con $y$ como constante: necesitamos dos términos cuyo producto sea $-4y^2$ y cuya suma sea $-3y$, es decir $-4y$ y $+y$:

   $x^2-3xy-4y^2=(x-4y)(x+y)$

3. 3

   Factorizar la parte lineal y buscar el paréntesis compartido.

   $2x-8y=2(x-4y)$

   El factor $(x-4y)$ aparece en ambas piezas — esa es la señal de que toda la expresión se factoriza, y nos dice cuál de los dos paréntesis del paso 2 es el común.

4. 4

   Sacar $(x-4y)$ como factor común.

   $(x-4y)(x+y)+2(x-4y)=(x-4y)\bigl[(x+y)+2\bigr]=(x-4y)(x+y+2)$

5. 5

   Desarrollar de vuelta y probar numéricamente. Desarrollando: $(x-4y)(x+y+2)=x^2+xy+2x-4xy-4y^2-8y=x^2-3xy+2x-4y^2-8y$, que es la expresión original tras reordenar ✓. En $x=3$, $y=1$: la original vale $9+6-8-9-4=-6$, y $(3-4)(3+1+2)=(-1)(6)=-6$ ✓.