Resolver el sistema 3x + 2y + 5z = 7, x + 2y + 5z = 4, -x + 3y + z = 2, 3x + 4y + 5z = 32 por el método de sustitución.

Step-by-step solution

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   Notar que el sistema está sobredeterminado. Hay cuatro ecuaciones pero solo tres incógnitas. Un sistema así normalmente no tiene solución: la cuarta ecuación es una restricción más de las que las incógnitas pueden absorber, así que parte del trabajo consiste en decidir si las ecuaciones son siquiera compatibles.

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   Despejar x de la ecuación (2). De $x+2y+5z=4$ se obtiene $x=4-2y-5z$. La ecuación (2) es la elección natural porque allí $x$ tiene coeficiente $1$, así que no aparecen fracciones.

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   Sustituir en las otras tres ecuaciones. En (1): $3(4-2y-5z)+2y+5z=7$ se reduce a $4y+10z=5$, que se llamará (A). En (3): $-(4-2y-5z)+3y+z=2$ da $5y+6z=6$, que se llamará (B). En (4): $3(4-2y-5z)+4y+5z=32$ da $2y+10z=-20$, que se llamará (C).

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   Resolver el par (A) y (C). Restar (C) a (A) elimina $z$: $(4y+10z)-(2y+10z)=5-(-20)$, así que $2y=25$ y $y=\frac{25}{2}$. Después (C) da $25+10z=-20$, así que $z=-\frac92$.

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   Probar esos valores en la ecuación (B). $5\left(\frac{25}{2}\right)+6\left(-\frac92\right)=\frac{125}{2}-27=\frac{71}{2}=35.5$, pero (B) exige $6$. Las tres ecuaciones reducidas no pueden cumplirse a la vez.

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   Concluir y confirmar por el rango. Como una consecuencia del sistema contradice otra ecuación, el sistema es incompatible. La matriz de coeficientes tiene rango $3$ mientras que la matriz ampliada tiene rango $4$, que es exactamente el criterio de Rouché-Capelli para que no haya solución. En concreto, $(1)-(2)$ obliga a $x=\frac32$ y $(4)-(1)$ obliga a $y=\frac{25}{2}$, y entonces (2) obliga a $z=-\frac92$; esos valores dan $-\frac32+\frac{75}{2}-\frac92=\frac{63}{2}=31.5$ en la ecuación (3), y no $2$.