Resolver la ecuación |x² − 13| = 3.

Step-by-step solution

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   Separar según la definición de valor absoluto. $|A| = 3$ significa que lo de dentro está a $3$ unidades del cero en cualquiera de las dos direcciones, así que $A = 3$ o $A = -3$. Aquí eso da dos ecuaciones cuadráticas independientes:

   $x^2 - 13 = 3 \qquad \text{o} \qquad x^2 - 13 = -3$

   Las dos ramas están vivas porque $3 > 0$; si el miembro derecho fuera negativo no habría ninguna solución.

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   Resolver la rama positiva.

   $x^2 - 13 = 3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 16 \;\Longrightarrow\; x = \pm 4$

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   Resolver la rama negativa.

   $x^2 - 13 = -3 \;\Longrightarrow\; x^2 = 10 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{10}$

   Los dos miembros derechos resultaron positivos, así que cada rama aporta realmente dos raíces reales: por eso esta ecuación tiene cuatro soluciones y no dos.

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   Verificar todas las raíces. $|4^2 - 13| = |3| = 3$ y $|(-4)^2 - 13| = 3$. Para el par irracional, $(\pm\sqrt{10})^2 = 10$, de modo que $|10 - 13| = |-3| = 3$. Las cuatro cumplen exactamente.

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   Escribir el conjunto solución. Ordenado sobre la recta numérica, con $\sqrt{10} \approx 3.1623$:

   $x = -4,\ -\sqrt{10},\ \sqrt{10},\ 4$