Resuelve la desigualdad |x² − 5x + 6| + |x − 4| ≥ −x² + 5x + 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza el interior del valor absoluto para localizar todos los puntos de corte. Como $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, esa expresión cambia de signo en $x=2$ y en $x=3$; el segundo valor absoluto cambia en $x=4$. Los tres puntos de corte dividen la recta en cuatro intervalos:

   $(-\infty,2),\quad [2,3),\quad [3,4),\quad [4,\infty)$

   En cada uno de ellos los dos valores absolutos se vuelven polinomios ordinarios y la desigualdad pasa a ser cuadrática.

2. 2

   Caso $x<2$: el interior cuadrático es positivo y el lineal, negativo. Aquí $(x-2)(x-3)>0$ y $x-4<0$, así que el miembro izquierdo es $x^2-5x+6-(x-4)=x^2-6x+10$. La desigualdad queda

   $x^2-6x+10\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-11x+3\ge 0$

   Sus raíces son $x=\dfrac{11\pm\sqrt{97}}{4}$, es decir, aproximadamente $0.2878$ y $5.212$. Una parábola abierta hacia arriba es no negativa fuera de sus raíces, y al intersecar con $x<2$ queda

   $x\le\frac{11-\sqrt{97}}{4}$

3. 3

   Caso $2\le x<3$: la cuadrática interior cambia de signo. Ahora $(x-2)(x-3)\le 0$, de modo que $|x^2-5x+6|=-x^2+5x-6$, y sigue siendo $|x-4|=4-x$. La desigualdad queda

   $-x^2+4x-2\ge -x^2+5x+7$

   El término $-x^2$ se cancela en los dos miembros y deja la condición lineal $-9\ge x$. Ningún punto de $[2,3)$ cumple $x\le -9$, luego este caso es vacío.

4. 4

   Caso $3\le x<4$: de vuelta a una cuadrática positiva. Aquí $|x^2-5x+6|=x^2-5x+6$ y $|x-4|=4-x$, lo que da la misma desigualdad que en el Caso 1, $2x^2-11x+3\ge 0$, cuyo conjunto solución es $x\le 0.2878$ o $x\ge 5.212$. Ninguna de las dos regiones corta a $[3,4)$, así que este caso también es vacío.

5. 5

   Caso $x\ge 4$: los dos valores absolutos se abren en positivo. Ahora $|x-4|=x-4$, así que

   $x^2-4x+2\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-9x-5\ge 0$

   Esto factoriza limpiamente: $2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5)$, con raíces $x=-\tfrac12$ y $x=5$. Fuera de las raíces, e intersecando con $x\ge 4$, se obtiene

   $x\ge 5$

6. 6

   Une los casos que sobreviven y comprueba con valores.

   $\left(-\infty,\ \frac{11-\sqrt{97}}{4}\right]\cup[5,\infty)$

   Numéricamente, el primer extremo es $0.28779$. Comprobaciones: en $x=0$ el miembro izquierdo vale $6+4=10$ y el derecho $7$, luego se cumple ✓; en $x=1$ obtenemos $2+3=5$ frente a $11$, que falla ✓; en $x=5$ los dos miembros valen $7$, así que el extremo se incluye ✓; en $x=6$ obtenemos $12+2=14$ frente a $1$ ✓.