¿Cuál es el cociente de (x³ − 3x² + 5x − 3) ÷ (x − 1)?

Step-by-step solution

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   Averigua primero si la división será exacta. Por el teorema del factor, $x - 1$ divide exactamente al polinomio cúbico cuando al sustituir $x = 1$ se obtiene cero:

   $1 - 3 + 5 - 3 = 0$

   Así es, de modo que hay que esperar resto $0$ y un cociente cuadrático limpio. Saberlo de antemano avisa de que cualquier sobrante distinto de cero es un descuido aritmético.

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   Primera ronda: divide, multiplica y resta. Divide los términos principales:

   $\frac{x^3}{x} = x^2, \qquad x^2(x-1) = x^3 - x^2$

   $(x^3 - 3x^2 + 5x - 3) - (x^3 - x^2) = -2x^2 + 5x - 3$

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   Segunda ronda. El dividendo parcial encabeza ahora con $-2x^2$:

   $\frac{-2x^2}{x} = -2x, \qquad -2x(x-1) = -2x^2 + 2x$

   $(-2x^2 + 5x - 3) - (-2x^2 + 2x) = 3x - 3$

   Cuidado con el signo: al restar $+2x$ queda $5x - 2x = 3x$.

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   La tercera ronda cierra la división. A partir de $3x$:

   $\frac{3x}{x} = 3, \qquad 3(x-1) = 3x - 3$

   $(3x - 3) - (3x - 3) = 0$

   El resto es $0$, exactamente como predijo el teorema del factor, así que el cociente es $x^2 - 2x + 3$.

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   Confirma multiplicando de vuelta. Desarrolla la factorización que produjo la división:

   $(x-1)(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$

   Coincide con el polinomio cúbico original. Como extra, $x^2 - 2x + 3$ tiene discriminante $4 - 12 = -8 < 0$, así que $x = 1$ es la única raíz real del polinomio cúbico.