Resuelve la inecuación (4/3)(-x + 2) - (x + 4)/6 > x/2 + 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige un común denominador antes de desarrollar. Los denominadores presentes son $3$, $6$ y $2$, cuyo mínimo común múltiplo es $6$. Reescribirlo todo sobre $6$ desde el principio evita tener que repartir fracciones término a término, que es donde suelen aparecer los errores de signo:

   $\frac{4}{3}(-x+2)=\frac{8(-x+2)}{6}=\frac{-8x+16}{6}$

2. 2

   Combina las dos fracciones del primer miembro. Ya comparten el denominador $6$:

   $\frac{-8x+16}{6}-\frac{x+4}{6}=\frac{-8x+16-x-4}{6}=\frac{-9x+12}{6}$

   Fíjate en que el signo menos se reparte tanto sobre $x$ como sobre $4$.

3. 3

   Multiplica los dos miembros por 6. Como $6>0$, multiplicar no cambia el sentido de la desigualdad:

   $-9x+12>6\left(\frac{x}{2}+2\right)=3x+12$

4. 4

   Agrupa los términos con variable. Resta $3x$ y resta $12$ en los dos miembros:

   $-9x-3x>12-12\quad\Longrightarrow\quad -12x>0$

5. 5

   Divide entre un número negativo e invierte el signo. Dividir los dos miembros entre $-12$ invierte la desigualdad:

   $x<0$

   $\boxed{x<0\quad\text{es decir, }x\in(-\infty,0)}$

6. 6

   Prueba un valor a cada lado. En $x=-1$ el primer miembro es $\tfrac{4}{3}(3)-\tfrac{3}{6}=4-0.5=3.5$ y el segundo es $-0.5+2=1.5$, así que $3.5>1.5$ se cumple. En $x=1$ el primer miembro es $\tfrac{4}{3}(1)-\tfrac{5}{6}=\tfrac{8}{6}-\tfrac{5}{6}=0.5$ y el segundo es $2.5$, así que la desigualdad falla. Las dos pruebas concuerdan con $x<0$.