Resolver la ecuación de segundo grado x² + 17x − 120 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Intenta primero la factorización entera y observa cómo falla. Factorizar exige dos enteros cuyo producto sea $-120$ y cuya suma sea $+17$. Recorre las parejas de factores de $120$: $(24,-5)$ suma $19$, $(30,-4)$ suma $26$, $(20,-6)$ suma $14$, $(40,-3)$ suma $37$, $(15,-8)$ suma $7$. Ninguna cae en $17$, así que no existe factorización entera. Una respuesta equivocada muy repetida aquí es $(x+24)(x-5)$, pero eso desarrolla a $x^2+19x-120$, no a $x^2+17x-120$.

2. 2

   Confirma el fracaso con el discriminante. Para $ax^2+bx+c$ con $a=1$, $b=17$, $c=-120$,

   $\Delta=b^2-4ac=17^2-4(1)(-120)=289+480=769$

   Como $27^2=729$ y $28^2=784$, el valor $769$ queda estrictamente entre dos cuadrados consecutivos, así que no es un cuadrado perfecto. Esa es exactamente la razón algebraica de que la búsqueda entera anterior no pudiera prosperar nunca: las raíces racionales exigen un discriminante cuadrado.

3. 3

   Aplica la fórmula general. Con $\Delta=769>0$ hay dos raíces irracionales distintas:

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-17\pm\sqrt{769}}{2}$

   Esta es la respuesta exacta; $769$ es primo, así que está libre de factores cuadrados, así que $\sqrt{769}$ no se puede simplificar más.

4. 4

   Pasa a decimales. $\sqrt{769}\approx 27.7308$, de modo que

   $x_1=\frac{-17+27.7308}{2}\approx 5.3654,\qquad x_2=\frac{-17-27.7308}{2}\approx -22.3654$

   Fíjate en lo lejos que queda $x_2$ del tentador $-24$: no son intercambiables.

5. 5

   Comprueba con las fórmulas de Vieta. La suma de las raíces debe ser $-b/a=-17$ y el producto debe ser $c/a=-120$. En efecto, $5.3654+(-22.3654)=-17$ y, de forma exacta,

   $x_1x_2=\frac{(-17)^2-769}{4}=\frac{289-769}{4}=\frac{-480}{4}=-120$

   Se cumplen las dos condiciones, así que las raíces son correctas.