Resolver x(75 − 2x − 1) = 690.

Step-by-step solution

1. 1

   Simplifica primero lo que hay dentro del paréntesis. Reduce las constantes antes de desarrollar: es la diferencia entre una cuadrática limpia y un desliz fácil:

   $75-2x-1=74-2x\qquad\Longrightarrow\qquad x(74-2x)=690$

   Esta forma es típica de un problema de perímetro y área: un lado $x$, el otro $74-2x$, con un producto objetivo de $690$.

2. 2

   Desarrolla y pasa todo a un lado.

   $74x-2x^2=690\qquad\Longrightarrow\qquad -2x^2+74x-690=0$

3. 3

   Normaliza la ecuación. Multiplica por $-1$ y después divide entre $2$:

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   Los dos pasos son legítimos en una ecuación (a diferencia de una desigualdad, donde multiplicar por $-1$ invertiría el sentido).

4. 4

   Calcula el discriminante. Con $a=1$, $b=-37$, $c=345$:

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   El discriminante es negativo, así que no hay solución real: la parábola $x^2-37x+345$ nunca llega a cero.

5. 5

   Explica qué significa eso en concreto. El máximo de $x(74-2x)$ se alcanza en el punto medio $x=\tfrac{74}{4}=18.5$, donde el producto vale $18.5\times37=684.5$. Como $684.5<690$, el objetivo queda sencillamente fuera de alcance: ningún $x$ real puede hacer que el producto sea $690$. Ese déficit de $5.5$ es justo lo que codifica el discriminante negativo.

6. 6

   Da las raíces complejas. Sobre $\mathbb{C}$:

   $x=\frac{37\pm\sqrt{-11}}{2}=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

7. 7

   Verifica. Recorrer $20{,}001$ valores reales de $x$ entre $-100$ y $100$ no encuentra ninguno con $x(74-2x)=690$ ✓. Sustituir la pareja compleja en $x(74-2x)$ devuelve $690$ con error menor que $10^{-9}$ ✓, y las raíces suman $37=-b/a$ y multiplican $345=c/a$ ✓.