¿Cuál es el cociente de (3x⁴ − 4x² + 8x − 1) ÷ (x − 2)?

Step-by-step solution

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   Escribe el dividendo con todas las potencias presentes. La división larga alinea los términos por grado, así que una potencia ausente hay que reservarla con coeficiente cero. No hay término en $x^3$, así que escribe

   $3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

   Saltarse esto es, con mucho, la causa más frecuente de un cociente equivocado aquí.

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   Divide los términos principales para obtener el primer término del cociente. Cada vuelta de la división larga solo mira los dos términos principales:

   $\frac{3x^4}{x} = 3x^3$

   Multiplica de vuelta y resta:

   $3x^3(x-2) = 3x^4 - 6x^3$

   $(3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + \ldots) - (3x^4 - 6x^3) = 6x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

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   Repite con el nuevo término principal. Ahora el resto parcial encabeza con $6x^3$:

   $\frac{6x^3}{x} = 6x^2, \qquad 6x^2(x-2) = 6x^3 - 12x^2$

   Al restar queda

   $8x^2 + 8x - 1$

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   Dos vueltas más completan el cociente. A partir de $8x^2$:

   $\frac{8x^2}{x} = 8x, \qquad 8x(x-2) = 8x^2 - 16x \ \Rightarrow\ 24x - 1$

   y a partir de $24x$:

   $\frac{24x}{x} = 24, \qquad 24(x-2) = 24x - 48 \ \Rightarrow\ 47$

   El $47$ que sobra tiene grado $0$, menor que el del divisor, así que la división se detiene.

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   Comprueba con la identidad de la división. Una división correcta debe cumplir dividendo $=$ divisor $\times$ cociente $+$ resto:

   $(x-2)(3x^3 + 6x^2 + 8x + 24) + 47 = 3x^4 - 4x^2 + 8x - 1$

   Desarrollar el lado izquierdo reproduce el dividendo término a término. De forma equivalente, el teorema del resto da $f(2) = 48 - 16 + 16 - 1 = 47$, que coincide exactamente con el resto.