Si (2, +∞) es un intervalo solución de x² + x − b > 0, ¿cuál es el otro intervalo solución?

Step-by-step solution

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   Aprovechar la forma de una parábola que abre hacia arriba. Como el coeficiente de $x^2$ es $+1$, la gráfica de $y=x^2+x-b$ abre hacia arriba, así que $y>0$ se cumple fuera de las dos raíces. Por lo tanto el conjunto solución tiene la forma $(-\infty,r_1)\cup(r_2,+\infty)$ con $r_1<r_2$.

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   Leer el intervalo dado como una raíz. El intervalo indicado $(2,+\infty)$ tiene que ser la rama derecha, así que su extremo $x=2$ es la raíz mayor. Los extremos del conjunto solución de una desigualdad cuadrática estricta son exactamente las raíces de la ecuación.

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   Despejar b. Sustituyendo $x=2$ en $x^2+x-b=0$: $4+2-b=0$, así que $b=6$. La desigualdad es $x^2+x-6>0$.

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   Factorizar y hallar la segunda raíz. $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, así que las raíces son $-3$ y $2$. El producto $(x+3)(x-2)$ es positivo cuando ambos factores comparten signo.

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   Enunciar la rama que faltaba. Los dos factores son negativos cuando $x<-3$, así que el otro intervalo solución es $(-\infty,-3)$ y el conjunto solución completo es $(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$.

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   Comprobación numérica en x = −4 y x = 0. En $x=-4$: $16-4-6=6>0$, así que $-4$ pertenece al conjunto solución. En $x=0$ (entre las raíces): $0+0-6=-6<0$, correctamente excluido.