Resuelve la inecuación −x² + 6x − 10 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Invierte el signo para tener coeficiente principal positivo. Multiplica por $-1$ e invierte el sentido de la desigualdad:

   $x^2-6x+10<0$

2. 2

   Comprueba si hay raíces reales con el discriminante. Con $a=1$, $b=-6$, $c=10$:

   $\Delta=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4<0$

   Un discriminante negativo significa que la parábola nunca corta al eje $x$, así que la expresión nunca cambia de signo.

3. 3

   Determina cuál es ese único signo. Como $a=1>0$, la parábola abre hacia arriba y queda por completo por encima del eje. Completar el cuadrado lo hace explícito:

   $x^2-6x+10=(x-3)^2+1\ge 1>0$

   El valor mínimo es $1$, alcanzado en $x=3$.

4. 4

   Concluye. Una expresión que siempre vale al menos $1$ jamás puede ser $<0$, de modo que el conjunto solución es vacío:

   $x\in\varnothing$

5. 5

   Comprueba directamente en la forma original. $-x^2+6x-10=-\left[(x-3)^2+1\right]\le-1<0$ para todo $x$ real, así que nunca es positiva $\checkmark$. Verifica el vértice $x=3$: $-9+18-10=-1$, el mayor valor que alcanza el miembro izquierdo.