Resolver para x: x/(10 + x) = 0.97.

Step-by-step solution

1. 1

   Leer la ecuación como una participación en un total. $x$ sobre $10+x$ debe ser el $97\%$, así que el $10$ fijo se lleva el $3\%$ restante. Eso da de inmediato el total como aproximadamente $\tfrac{10}{0.03}\approx333$, y $x$ como unos $323$.

2. 2

   Convertir a fracción y anotar el dominio.

   $0.97=\frac{97}{100}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{x}{10+x}=\frac{97}{100},\qquad x\neq-10$

   Como $97$ es primo, esta fracción ya es irreducible, a diferencia de $0.98=\tfrac{49}{50}$, que sí se simplifica.

3. 3

   Multiplicar en cruz.

   $100x=97(10+x)$

4. 4

   Desarrollar y agrupar.

   $100x=970+97x\qquad\Longrightarrow\qquad 3x=970$

   El coeficiente $3=100-97$ es exactamente los tres puntos porcentuales que faltan, expresados en centésimas.

5. 5

   Dividir y notar que el decimal es periódico.

   $x=\frac{970}{3}=323.\overline{3}\approx323.33$

   Como $3$ no divide a $970$ ni está formado por factores $2$ y $5$, la fracción exacta es la mejor respuesta. Esa es la diferencia estructural con el caso $0.98$, donde $100-98=2$ divide sin resto y da el número entero $490$.

6. 6

   Verificar con aritmética exacta.

   $\frac{970/3}{10+970/3}=\frac{970/3}{1000/3}=\frac{970}{1000}=0.97\ \checkmark$

   y la forma cerrada $x=\dfrac{ap}{1-p}=\dfrac{10(0.97)}{0.03}=\dfrac{9.7}{0.03}=323.\overline{3}$ concuerda ✓.