Factorizar x¹⁰⁵ + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Revisar primero la paridad del exponente. Una suma $x^{n}+1$ factoriza sobre los enteros con $(x+1)$ como factor exactamente cuando $n$ es impar. Se comprueba directo con el teorema del factor: al sustituir $x=-1$ se obtiene

   $(-1)^{105}+1=-1+1=0\ \checkmark$

   ya que $105$ es impar. Entonces $x+1$ divide a $x^{105}+1$ sin resto.

2. 2

   Aplicar la identidad de suma de potencias impares. Con $a=x$, $b=1$ y $n=105$:

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   Toda potencia de $b=1$ vale $1$, así que el cofactor se reduce a potencias alternadas solo de $x$.

3. 3

   Escribir la factorización.

   $x^{105}+1=(x+1)\left(x^{104}-x^{103}+x^{102}-\cdots-x+1\right)$

   El cofactor tiene $105$ términos, de grado $104$ hasta $0$, con signos alternados. Como el grado máximo $104$ es par, el signo inicial es $+$ y —al haber un número impar de términos— el término constante también es $+1$.

4. 4

   Verificar numéricamente. Al evaluar ambos lados en aritmética entera exacta para $x=2,3,5,-2,-3$ se obtiene igualdad en todos los casos ✓. Los grados también cuadran: $1+104=105$ ✓.

5. 5

   Notar que esta no es la factorización completa. Como $105=3\times5\times7$, es posible seguir separando a lo largo de cada divisor. Por ejemplo $x^{105}+1=\left(x^{35}\right)^{3}+1$ también factoriza como $\left(x^{35}+1\right)\left(x^{70}-x^{35}+1\right)$. Factorizada por completo sobre $\mathbb{Q}$, $x^{105}+1$ se descompone en polinomios ciclotómicos $\Phi_{d}(x)$ para los divisores $d$ de $210$ que no dividen a $105$; la forma con $(x+1)$ de arriba es apenas la primera separación, la más útil.