Resolver la ecuación de cuarto grado x⁴ − 16x³ + 66x² − 16x − 35 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Buscar un bloque cuadrático repetido. La mitad de $-16$ es $-8$, y $(x^2-8x)^2 = x^4 - 16x^3 + 64x^2$ ya reproduce los tres primeros términos salvo un pequeño resto. Eso sugiere la sustitución

   $t = x^2 - 8x$

2. 2

   Reescribir la cuártica en términos de t. Restando el desarrollo anterior:

   $x^4 - 16x^3 + 66x^2 - 16x - 35 = \left(x^2-8x\right)^2 + 2x^2 - 16x - 35 = t^2 + 2t - 35$

   La coincidencia crucial es que el resto $2x^2 - 16x$ es exactamente $2t$, de modo que no sobrevive ninguna $x$ suelta. Una cuártica en $x$ se ha vuelto una cuadrática en $t$.

3. 3

   Resolver la cuadrática en t. Dos números con producto $-35$ y suma $+2$ son $+7$ y $-5$:

   $t^2 + 2t - 35 = (t+7)(t-5) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = -7 \ \text{o} \ t = 5$

4. 4

   Traducir de vuelta a dos cuadráticas en x.

   $x^2 - 8x = -7 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x + 7 = 0$

   $x^2 - 8x = 5 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x - 5 = 0$

   De forma equivalente, $x^4-16x^3+66x^2-16x-35 = \left(x^2-8x+7\right)\left(x^2-8x-5\right)$, que al desarrollarse reproduce exactamente el original.

5. 5

   Resolver cada cuadrática. La primera factoriza sobre los enteros:

   $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1 \ \text{o} \ x = 7$

   La segunda exige completar el cuadrado, ya que $\Delta = 64 + 20 = 84$ no es un cuadrado perfecto:

   $(x-4)^2 = 21 \quad \Longrightarrow \quad x = 4 \pm \sqrt{21}$

6. 6

   Reunir y comprobar las cuatro raíces reales.

   $x = 1,\quad x = 7,\quad x = 4 + \sqrt{21} \approx 8.5826,\quad x = 4 - \sqrt{21} \approx -0.5826$

   Las cuatro son reales. Comprobación de Vieta: las raíces suman $1 + 7 + 8 = 16 = -(-16)/1$, y su producto es $7 \cdot (16-21) = -35$, que coincide con el término independiente. Sustituir $x = 4+\sqrt{21}$ numéricamente da $0$ hasta el duodécimo decimal.