¿Cuál es el valor mínimo de |x + 1| + |x − 2|?

Step-by-step solution

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   Lee cada valor absoluto como una distancia. Como $|x-a|$ es la distancia de $x$ a $a$ sobre la recta numérica, reescribe la expresión como

   $|x-(-1)|+|x-2|$

   de modo que es la distancia total del punto $x$ a los dos puntos fijos $-1$ y $2$. Este cambio de enfoque sustituye una separación algebraica en tres casos por un único hecho geométrico.

2. 2

   Razona dónde es mínima la distancia total. Si $x$ está entre $-1$ y $2$, las dos distancias suman exactamente la separación entre los puntos. Si $x$ queda fuera de ese intervalo, hay que recorrer camino de vuelta, así que el total es estrictamente mayor.

3. 3

   Calcula la separación.

   $2-(-1)=3$

   así que el valor mínimo es $3$, y se alcanza para todo $x$ en $[-1,2]$, no en un único punto.

   $\boxed{3}$

4. 4

   Confirma con la separación algebraica en casos. Para $x<-1$: $-(x+1)-(x-2)=1-2x>3$. Para $-1\le x\le 2$: $(x+1)-(x-2)=3$. Para $x>2$: $(x+1)+(x-2)=2x-1>3$. Las tres piezas confirman el valor $3$ y el tramo plano del medio.

5. 5

   Verifica con la desigualdad triangular. $|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|\ge|(x+1)+(2-x)|=3$, con igualdad exactamente cuando $x+1$ y $2-x$ tienen el mismo signo, es decir, cuando $-1\le x\le 2$, lo que coincide con la separación en casos. Valores sueltos: en $x=0$ la suma es $1+2=3$; en $x=5$ es $6+3=9$.