Resuelve la inecuación −x² + 4x − 4 < 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca el signo menos principal para dejar a la vista la estructura.

   $-x^2+4x-4=-\left(x^2-4x+4\right)$

   El paréntesis es un conocido trinomio cuadrado perfecto.

2. 2

   Reconoce el cuadrado perfecto.

   $x^2-4x+4=(x-2)^2\quad\Longrightarrow\quad -x^2+4x-4=-(x-2)^2$

3. 3

   Usa el signo de un cuadrado. Para todo $x$ real, $(x-2)^2\ge 0$, así que $-(x-2)^2\le 0$. Por tanto la expresión nunca es positiva; lo único que queda por decidir es dónde vale cero.

4. 4

   Localiza el caso de igualdad. $-(x-2)^2=0$ exactamente cuando $x=2$. Como la desigualdad es estricta ($<0$, y no $\le 0$), hay que excluir ese único punto.

5. 5

   Escribe el conjunto solución.

   $\boxed{x\in(-\infty,2)\cup(2,\infty),\ \text{es decir, todo real }x\neq 2}$

6. 6

   Contrasta con el discriminante. Para $-x^2+4x-4$ el discriminante vale $4^2-4(-1)(-4)=16-16=0$, así que la parábola toca al eje $x$ en un solo punto y, al abrir hacia abajo ($a=-1<0$), queda estrictamente por debajo en todos los demás — justo la conclusión a la que llegamos arriba. Valores de muestra: en $x=0$ vale $-4<0$, en $x=2$ vale $0$, en $x=5$ vale $-9<0$.