Usa la división sintética para dividir x³ − 2x² − 4x + 8 entre x − 2. Indica el cociente y el resto.

Step-by-step solution

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   Lee el valor de $c$ en el divisor. La división sintética solo funciona cuando el divisor está escrito como $x-c$, y el número que se coloca en la esquina es la raíz de ese divisor, no el número que se ve en la expresión. Aquí $x-2=x-(2)$, así que

   $c=2$

   Un desliz frecuente es usar $-2$ por el signo menos impreso en $x-2$. Contrástalo mejor con el teorema del resto: el resto debe ser igual a $f(c)$, y $f(2)=8-8-8+8=0$, que es justo lo que la tabla debería producir.

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   Escribe los coeficientes en orden decreciente, insertando ceros para las potencias que falten. En $x^3-2x^2-4x+8$ están presentes todas las potencias desde $x^3$ hasta $x^0$, así que no hay que rellenar nada:

   $1,\;-2,\;-4,\;8$

   Este paso es por donde entran casi todos los errores. Si falta una potencia hay que reservarle igualmente un hueco con un $0$; de lo contrario, cada multiplicar y sumar posterior cae una columna más a la izquierda de lo debido.

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   Ejecuta el ciclo de multiplicar y sumar. Baja directamente el $1$ principal y después multiplica por $c=2$ el número recién escrito y súmalo al coeficiente siguiente, una y otra vez:

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & -2 & -4 & 8\\ & & 2 & 0 & -8\\ \hline & 1 & 0 & -4 & 0\end{array}$

   En concreto: $1\cdot 2=2$ y $-2+2=0$; luego $0\cdot 2=0$ y $-4+0=-4$; luego $-4\cdot 2=-8$ y $8+(-8)=0$.

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   Interpreta la fila inferior. La última entrada es el resto y todo lo que queda a su izquierda son los coeficientes del cociente, con el grado rebajado en uno porque se dividió entre un factor lineal:

   $\text{cociente}=1x^2+0x-4=x^2-4,\qquad \text{resto}=0$

   El $0$ de la columna central no es un adorno: es el coeficiente de $x$, y por eso el cociente no tiene término lineal.

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   Comprueba multiplicando hacia atrás. Un resto $0$ significa que la división fue exacta, así que el producto de divisor y cociente debe reconstruir el polinomio cúbico original:

   $(x-2)(x^2-4)=x^3-4x-2x^2+8=x^3-2x^2-4x+8\;\checkmark$

   Como el resto se anuló, además has factorizado el polinomio: $x^2-4$ se descompone a su vez en $(x-2)(x+2)$, lo que da $x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2)$ y raíces $x=2$ (doble) y $x=-2$.