Graficar f(x) = −|x + 5| − 4. Identificar el vértice, hacia dónde abre, los cortes con los ejes y el recorrido.

Step-by-step solution

1. 1

   Encajar la ecuación en la forma de vértice. Comparando con $f(x)=a\left|x-h\right|+k$:

   $a=-1,\qquad h=-5\ \ (\text{ya que }x+5=x-(-5)),\qquad k=-4$

   de modo que el vértice es $(-5,-4)$. Reescribir $x+5$ como $x-(-5)$ antes de leer $h$ evita el error de signo habitual.

2. 2

   Determinar la dirección y la inclinación a partir de $a$. Como $a=-1<0$ la gráfica abre hacia abajo —una V invertida— y como $|a|=1$ los brazos tienen pendientes $+1$ (a la izquierda del vértice) y $-1$ (a la derecha), la misma inclinación que la función madre $|x|$.

3. 3

   Construir la gráfica como una sucesión de transformaciones. Partiendo de $y=|x|$: desplazar $5$ a la izquierda (porque $x+5$ se anula en $x=-5$), reflejar respecto del eje $x$ y luego bajar $4$:

   $|x|\;\to\;|x+5|\;\to\;-|x+5|\;\to\;-|x+5|-4$

4. 4

   Ubicar algunos puntos a ambos lados del vértice. Usando la pendiente $\pm 1$ a partir de $(-5,-4)$:

   $f(-7)=-2-4=-6,\quad f(-6)=-1-4=-5,\quad f(-5)=-4,\quad f(-4)=-5,\quad f(-3)=-6$

   La simetría respecto de la recta vertical $x=-5$ se ve en estos valores, y es una buena comprobación de que el desplazamiento horizontal se aplicó bien.

5. 5

   Leer los cortes con los ejes y el recorrido. El corte con el eje $y$ es $f(0)=-|5|-4=-9$, que da el punto $(0,-9)$. Para cortes con el eje $x$ haría falta $-|x+5|-4=0$, es decir $|x+5|=-4$, lo cual es imposible porque un valor absoluto nunca es negativo; así que no hay ninguno. La salida máxima es $-4$, en el vértice, de modo que el recorrido es

   $(-\infty,-4]$