Desarrolla (8 − 6xy − x²y² − 6x³ − 5y³ − 7y + 4x) por 8xy.

Step-by-step solution

1. 1

   Organiza la contabilidad antes de multiplicar. Hay siete términos dentro del paréntesis, así que habrá siete términos en la respuesta — después no se puede combinar nada, porque cada producto acaba con un par de exponentes distinto. Recorre el paréntesis en orden para no saltarte ninguno.

2. 2

   Multiplica los coeficientes y suma los exponentes por separado. Para cada término, multiplica los coeficientes numéricos, suma las potencias de $x$ y suma las potencias de $y$. Recuerda que toda $x$ o $y$ suelta lleva un exponente invisible $1$:

   $8\cdot 8xy=64xy,\qquad (-6xy)(8xy)=-48x^{2}y^{2},\qquad \left(-x^{2}y^{2}\right)(8xy)=-8x^{3}y^{3}.$

3. 3

   Sigue con los términos de potencia pura. Estos ganan un factor de la otra variable que aporta el monomio:

   $\left(-6x^{3}\right)(8xy)=-48x^{4}y,\qquad \left(-5y^{3}\right)(8xy)=-40xy^{4}.$

4. 4

   Termina los dos términos que quedan.

   $(-7y)(8xy)=-56xy^{2},\qquad (4x)(8xy)=32x^{2}y.$

5. 5

   Arma la respuesta en orden decreciente de la potencia de x.

   $-48x^{4}y-8x^{3}y^{3}-48x^{2}y^{2}+32x^{2}y-40xy^{4}-56xy^{2}+64xy.$

6. 6

   Comprueba con una sustitución. En $x=y=1$ el paréntesis vale $8-6-1-6-5-7+4=-13$ y el monomio vale $8$, así que el producto es $-104$. Sumando los siete términos de la respuesta en $x=y=1$: $-48-8-48+32-40-56+64=-104$ ✓.