Escribe 9x² - 12xy + 4y² como un cuadrado perfecto.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba si los dos términos de los extremos son cuadrados perfectos. Un trinomio solo puede ser un binomio al cuadrado si su primer y su último término son cuadrados:

   $9x^2=(3x)^2,\qquad 4y^2=(2y)^2$

   Así que el candidato es $(3x\pm 2y)^2$, y solo el término central puede decidir el signo.

2. 2

   Contrasta el término central con $2ab$. Para $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ con $a=3x$ y $b=2y$:

   $2ab=2(3x)(2y)=12xy$

   El término central dado es $-12xy$, que coincide exactamente con $-2ab$. Esta prueba es todo el método — si el término central hubiera sido cualquier cosa distinta de $\pm 12xy$, la expresión no sería un cuadrado perfecto.

3. 3

   Elige el signo a partir del término central. Como el término central es negativo, el binomio lleva un menos:

   $9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2$

4. 4

   Desarrolla para confirmarlo.

   $(3x-2y)^2=(3x)^2-2(3x)(2y)+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2\;\checkmark$

5. 5

   Fíjate en lo que te dice la forma factorizada. Como la expresión es un cuadrado, nunca es negativa para $x,y$ reales, y vale cero exactamente cuando $3x=2y$. Sustituyendo $x=2$, $y=3$ da $9(4)-12(6)+4(9)=36-72+36=0$, y en efecto $3(2)=2(3)\;\checkmark$ — una confirmación numérica del conjunto de ceros.