Resuelve la ecuación √(3x − 8) − √(2x − 3) + √(x − 1) = 0.

Step-by-step solution

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   Halla el dominio antes que nada. Los tres radicandos deben ser no negativos: $3x \ge 8$, $2x \ge 3$, $x \ge 1$. La condición que manda es $x \ge \tfrac{8}{3} \approx 2.6667$, así que cualquier respuesta por debajo de ese valor es inválida de forma automática.

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   Reagrupa para que los dos miembros sean no negativos. Tal como está escrita, la parte izquierda mezcla signos y elevarla al cuadrado sería un lío. Pasa el término negativo a la derecha:

   $\sqrt{3x-8} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2x-3}$

   Ahora ambos miembros son sumas de raíces principales, luego $\ge 0$, y elevar al cuadrado no puede introducir un error de signo.

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   Eleva al cuadrado una vez. Usando $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$:

   $(3x-8) + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} + (x-1) = 2x-3$

   $4x - 9 + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} = 2x - 3 \;\Longrightarrow\; \sqrt{(3x-8)(x-1)} = 3 - x$

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   Anota la nueva condición de signo y vuelve a elevar al cuadrado. El miembro izquierdo es $\ge 0$, así que hace falta $3 - x \ge 0$, es decir $x \le 3$. Junto con el dominio, cualquier solución cae en $\left[\tfrac{8}{3},\,3\right]$ — una ventana muy estrecha. Elevando al cuadrado:

   $3x^2 - 11x + 8 = x^2 - 6x + 9 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 5x - 1 = 0$

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   Resuelve y filtra. Por la fórmula general:

   $x = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$

   Es decir, $x \approx 2.6861$ o $x \approx -0.1861$. El valor negativo queda muy lejos del dominio (sus radicandos son negativos), así que solo puede servir $x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ — y fíjate en lo justo que encaja dentro de $[2.6667,\,3]$.

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   Verifica en la ecuación original. En $x = 2.6861407$: $\sqrt{3x-8} = \sqrt{0.058422} = 0.241706$, $\sqrt{2x-3} = \sqrt{2.372281} = 1.540221$, $\sqrt{x-1} = \sqrt{1.686141} = 1.298515$. Entonces $0.241706 - 1.540221 + 1.298515 = 0.000000$ ✓. Simbólicamente el residuo se simplifica hasta exactamente $0$, así que $x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ es la solución única.