¿Cuántos litros de una solución de alcohol al 20% y de una solución al 50% deben mezclarse para obtener 20 litros de una solución al 35%?

Step-by-step solution

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   Nombrar las dos incógnitas. Sea $x$ el número de litros tomados de la solución al $20\%$ e $y$ el número de litros tomados de la solución al $50\%$. Dos incógnitas significan que hacen falta dos ecuaciones independientes: una para el volumen total y otra para la cantidad de alcohol puro.

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   Ecuación 1: el volumen total. Las dos cantidades deben sumar los $20$ litros pedidos:

   $x+y=20.$

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   Ecuación 2: el alcohol puro se conserva. Esta es la idea clave de todo problema de mezclas: el alcohol de la mezcla final es igual al alcohol que aporta cada ingrediente. La mezcla buscada contiene $0.35\times 20=7$ litros de alcohol puro, mientras que los ingredientes aportan $0.20x$ y $0.50y$:

   $0.20x+0.50y=7.$

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   Resolver el sistema por sustitución. De la primera ecuación, $x=20-y$. Al sustituir en la segunda:

   $0.20(20-y)+0.50y=7\ \Longrightarrow\ 4+0.30y=7\ \Longrightarrow\ 0.30y=3\ \Longrightarrow\ y=10.$

   Entonces $x=20-10=10$.

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   Comprobar el resultado con el enunciado original. La solución al $20\%$ aporta $0.20\times 10=2$ L de alcohol y la solución al $50\%$ aporta $0.50\times 10=5$ L, es decir $7$ L en $20$ L de mezcla, o sea $\frac{7}{20}=35\%$. Correcto.

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   Verificación rápida con el atajo del punto medio. El $35\%$ está justo a la mitad entre el $20\%$ y el $50\%$, así que la respuesta tenía que ser partes iguales de las dos soluciones. Cuando la concentración buscada no es el punto medio, la mezcla se inclina hacia la solución de partida que esté más cerca de ella — una forma útil de detectar un error de signo o de cálculo antes de fiarse del álgebra.