Resuelve −4.6173x² − 0.2906x + 20.029 = 0 para x.

Step-by-step solution

1. 1

   Elimina el coeficiente principal negativo. Multiplicar una ecuación por $-1$ no cambia ninguna raíz, pero quita de en medio el signo que más errores provoca:

   $-4.6173x^2-0.2906x+20.029=0\iff 4.6173x^2+0.2906x-20.029=0$

   Ahora $a=4.6173$, $b=0.2906$, $c=-20.029$, y el denominador $2a$ de la fórmula general es positivo.

2. 2

   Calcula el discriminante.

   $\Delta=b^2-4ac=0.084448-4(4.6173)(-20.029)=0.084448+369.9196=370.00406$

   $\sqrt{\Delta}=19.23549$

   El valor negativo de $c$ garantiza que $-4ac>0$, así que hay dos raíces reales de signos opuestos con toda seguridad, antes de hacer ningún otro cálculo.

3. 3

   Aplica la fórmula general.

   $x=\frac{-0.2906\pm 19.23549}{2(4.6173)}=\frac{-0.2906\pm 19.23549}{9.2346}$

4. 4

   Evalúa las dos raíces.

   $x_1=\frac{-0.2906-19.23549}{9.2346}=-2.11445,\qquad x_2=\frac{-0.2906+19.23549}{9.2346}=2.05151$

   Con el coeficiente principal positivo, la rama del signo más da ahora la raíz mayor, tal como dicta la intuición.

5. 5

   Verifica por sustitución y con las relaciones de Vieta. Al poner $x=2.05151$ en la ecuación original: $-4.6173(4.20869)-0.2906(2.05151)+20.029=-19.43278-0.5962+20.029\approx 0\;\checkmark$. Vieta: la suma debe ser $-\tfrac{0.2906}{4.6173}=-0.06294$ y $-2.11445+2.05151=-0.06294\;\checkmark$; el producto debe ser $\tfrac{-20.029}{4.6173}=-4.33782$ y $(-2.11445)(2.05151)=-4.33782\;\checkmark$.