Una sucesión cumple a(n) = 4a(n-1) - 4a(n-2) para todo entero n mayor o igual que 2, con a(0) = -2025 y a(1) = 2026. Sabiendo que a(2025) = b por 2^c para ciertas constantes b y c, hallar b/c.

Step-by-step solution

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   Escribir la ecuación característica. Para una recurrencia lineal con coeficientes constantes, ensayar $a_n=r^n$ convierte la relación en una ecuación algebraica. Sustituyendo en $a_n-4a_{n-1}+4a_{n-2}=0$ y dividiendo entre $r^{n-2}$:

   $r^2-4r+4=0\;\Longrightarrow\;(r-2)^2=0\;\Longrightarrow\;r=2\ \text{(raíz doble)}$

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   Usar la forma de la solución general para raíz repetida. Una raíz doble aporta una sola solución geométrica $2^n$, así que la segunda solución independiente incorpora un factor $n$:

   $a_n=(A+Bn)\,2^{n}$

   Este es el paso que más se falla: escribir $A\cdot 2^n+B\cdot 2^n$ colapsa en una única constante y no puede ajustar dos valores iniciales independientes.

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   Ajustar las dos condiciones iniciales. Con $n=0$:

   $a_0=(A+0)\cdot 2^0=A=-2025$

   Con $n=1$:

   $a_1=(A+B)\cdot 2=2026\;\Longrightarrow\;A+B=1013\;\Longrightarrow\;B=1013+2025=3038$

   Así que $a_n=(3038n-2025)\,2^{n}$. Una comprobación rápida: $a_2=(6076-2025)\cdot4=16204$, y directamente $4a_1-4a_0=4(2026)-4(-2025)=16204$. Coinciden.

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   Evaluar en $n=2025$ y factorizar el coeficiente.

   $a_{2025}=(3038\cdot 2025-2025)\,2^{2025}=2025\,(3038-1)\,2^{2025}=2025\cdot 3037\cdot 2^{2025}$

   Sacar el factor común $2025$ antes de multiplicar es lo que deja limpio el último paso: si se desarrolla primero aparece $6{,}149{,}925$, y luego habría que volver a dividirlo entre $2025$.

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   Leer $b$ y $c$ y dividir. Comparando con $a_{2025}=b\cdot 2^{c}$ resulta $b=2025\cdot3037=6{,}149{,}925$ y $c=2025$, de modo que

   $\frac{b}{c}=\frac{2025\cdot 3037}{2025}=3037$

   El factor $2025$ se cancela exactamente, que es justo la idea con la que se construyó el problema: la respuesta es $B-1=3037$.