Factoriza x² − 4xy + 4y o explica por qué no se puede factorizar sobre los enteros.

Step-by-step solution

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   Busca un factor común. Los tres términos son $x^2$, $-4xy$ y $4y$. El primero no lleva $y$ y el último no lleva $x$, así que no hay ningún factor común con variables, y $x^2$ tampoco tiene un factor $4$. No se puede sacar nada fuera.

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   Prueba el patrón de cuadrado perfecto y observa que falla. El patrón $a^2-2ab+b^2$ exigiría que el último término fuera un cuadrado. Pero $4y$ no es un cuadrado: su exponente en $y$ es impar. La identidad conocida se aplica a

   $x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$

   y el exponente que le falta a esa última $y$ es toda la diferencia.

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   Trátala como una cuadrática en $x$ y calcula el discriminante. Escribiéndola como $x^2-(4y)x+4y$:

   $\Delta=(4y)^2-4(1)(4y)=16y^2-16y=16y(y-1)$

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   Extrae la conclusión. Una cuadrática en $x$ con coeficientes polinómicos factoriza sobre $\mathbb{Z}[y]$ solo cuando su discriminante es el cuadrado de un polinomio. Aquí $16y(y-1)$ es $16$ por un producto de dos factores lineales distintos, que no es un cuadrado perfecto en $\mathbb{Z}[y]$. Por tanto $x^2-4xy+4y$ es irreducible.

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   Compruébalo con una agrupación parcial. Lo máximo que se puede hacer es

   $x^2-4y(x-1)$

   que es una reescritura válida pero no una factorización, ya que las dos piezas restantes no comparten nada. Si el problema que se pretendía plantear era $x^2-4xy+4y^2$, la respuesta es $(x-2y)^2$.