Resuelve la cuártica 0.0395m⁴ − 1.0636m³ + 8.1435m² − 11.8308m − 17.026 = 0.

Step-by-step solution

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   Estima dónde pueden vivir las raíces antes de buscarlas. La cota de Cauchy dice que toda raíz cumple $|m|\le 1+\max|a_k|/|a_4|=1+17.026/0.0395\approx 432$. Es una cota holgada, pero el coeficiente principal diminuto es la señal de alerta: dividir todo entre $0.0395$ da $m^4-26.927m^3+206.16m^2-299.51m-431.04$, así que las raíces suman alrededor de $26.9$ y están repartidas en un rango amplio.

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   Barre la recta buscando cambios de signo. Evaluar $f(m)$ en pasos de $0.1$ desde $-3$ hasta $60$ da cambios de signo en $(-0.9,-0.8)$, $(3.3,3.4)$, $(11.1,11.2)$ y $(13.3,13.4)$. Cuatro cambios de signo en una cuártica significan cuatro raíces reales: ya no queda sitio para un par complejo, porque las raíces complejas vienen de dos en dos y en total solo hay cuatro raíces.

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   Aplica bisección en cada intervalo hasta la precisión completa.

   $m_1=-0.86460205,\quad m_2=3.37179569,\quad m_3=11.10472698,\quad m_4=13.31466166$

   Cada una se refinó hasta que el residuo $|f(m)|$ bajó de $10^{-12}$.

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   Contrasta con las fórmulas de Vieta. Para $a_4m^4+\cdots+a_0$, las raíces suman $-a_3/a_4=1.0636/0.0395=26.92658228$ y su producto es $a_0/a_4=-17.026/0.0395=-431.03797468$. Las cuatro raíces calculadas suman $26.92658228$ ✓ y su producto es $-431.03797468$ ✓, ambos con diez cifras significativas, así que no hay ninguna raíz espuria ni falta ninguna.

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   Descarta los valores que no superan la sustitución. Una respuesta que circula con frecuencia da $m\approx-0.9365$ y $m\approx3.3065$ junto con un par complejo $12.2798\pm19.2988i$. Al sustituir: $f(-0.9365)=+2.0996$ y $f(3.3065)=-0.8396$, y ninguno de los dos es cero; además, el par complejo que se afirma solo llevaría la suma de raíces a $26.93$ por casualidad. La respuesta correcta son cuatro raíces reales.