Resolver 27x³ - 54x² + 36x - 8 = 0.

Step-by-step solution

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   Buscar un cubo perfecto antes de recurrir a la fórmula de la cúbica. El primer y el último término son ambos cubos perfectos:

   $27x^{3}=(3x)^{3},\qquad 8=2^{3}.$

   Los signos alternados ($+,-,+,-$) apuntan a la forma de la diferencia $(a-b)^{3}$, así que vale la pena probar con $a=3x$ y $b=2$ antes de hacer nada más complicado. Reconocer el patrón convierte una cúbica en un problema de una sola línea.

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   Desarrollar $(3x-2)^{3}$ y comparar. Usando $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$:

   $(3x-2)^{3}=(3x)^{3}-3(3x)^{2}(2)+3(3x)(2)^{2}-2^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8.$

   Todos los coeficientes coinciden con los del original. Conviene revisar con cuidado los dos centrales: $3\cdot 9x^{2}\cdot 2=54x^{2}$ y $3\cdot 3x\cdot 4=36x$ — son los términos que fallarían si la conjetura fuera incorrecta.

3. 3

   Reescribir la ecuación en forma factorizada. La ecuación es, por lo tanto,

   $(3x-2)^{3}=0.$

   Un cubo vale cero solo cuando su base vale cero, ya que $t^{3}=0\iff t=0$ tanto sobre los reales como sobre los complejos. No hay un segundo caso que considerar.

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   Resolver la ecuación lineal. De $3x-2=0$:

   $3x=2\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}.$

   Así que la cúbica tiene la única raíz $x=\tfrac23$, con multiplicidad tres — las tres raíces de este polinomio de grado 3 coinciden. Gráficamente, la curva se aplana contra el eje $x$ en ese punto en lugar de cruzarlo de forma pronunciada.

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   Comprobar por sustitución y con Vieta. Sustituyendo: $27\cdot\tfrac{8}{27}-54\cdot\tfrac49+36\cdot\tfrac23-8=8-24+24-8=0$ ✓. Vieta también concuerda: las tres raíces deben sumar $-\tfrac{-54}{27}=2=3\times\tfrac23$ ✓ y multiplicarse hasta $\tfrac{8}{27}=\left(\tfrac23\right)^{3}$ ✓.