Resuelve el sistema de desigualdades: −x² + 3x + 4 ≥ 0 y 3x² − 2x ≥ 0. Da el conjunto solución como unión de intervalos.

Step-by-step solution

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   Plan: resuelve cada desigualdad por separado y luego interseca. Un sistema unido por y se cumple solo donde ambas afirmaciones son ciertas, así que la respuesta es la intersección de los dos conjuntos solución. Resolverlas juntas en un solo renglón es imposible; el método confiable son dos análisis de signos separados seguidos de una única recta numérica.

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   Vuelve positivo el coeficiente principal en la primera desigualdad. Multiplicar $-x^{2}+3x+4\ge 0$ por $-1$ invierte el sentido de la desigualdad:

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   Un producto de dos factores es $\le 0$ entre las raíces, y una parábola que abre hacia arriba queda por debajo del eje entre sus raíces, de modo que

   $-1\le x\le 4.$

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   Factoriza la segunda desigualdad sacando el factor común. No hay término constante, así que saca $x$ como factor en vez de recurrir a la fórmula general:

   $3x^{2}-2x=x(3x-2)\ge 0,$

   con raíces $x=0$ y $x=\tfrac23$. Esta parábola también abre hacia arriba, así que es $\ge 0$ fuera de las raíces:

   $x\le 0\quad\text{o}\quad x\ge \tfrac23.$

   Fíjate en que el sentido es el opuesto al del paso 2 — esa es toda la diferencia entre $\le$ y $\ge$ para una parábola que abre hacia arriba.

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   Interseca los dos conjuntos sobre una misma recta numérica. El primer conjunto es $[-1,4]$; el segundo es $(-\infty,0]\cup[\tfrac23,\infty)$. Cortando el primero contra cada pieza del segundo:

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad [-1,4]\cap\left[\tfrac23,\infty\right)=\left[\tfrac23,4\right].$

   Así que la solución es $[-1,0]\cup\left[\tfrac23,4\right]$. El hueco $\left(0,\tfrac23\right)$ queda excluido porque allí $x(3x-2)<0$.

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   Comprueba los cuatro extremos y un punto de cada región. En $x=0.3$ (dentro del hueco): $-0.09+0.9+4=4.81\ge0$ ✓ pero $3(0.09)-0.6=-0.33<0$ ✗, así que $0.3$ está correctamente excluido. En $x=-0.5$: $-0.25-1.5+4=2.25\ge0$ ✓ y $0.75+1=1.75\ge0$ ✓. En $x=2$: $6\ge0$ ✓ y $12-4=8\ge0$ ✓. En $x=4.5$: $-20.25+13.5+4<0$ ✗. Los cuatro extremos anulan uno de los factores, así que pertenecen al conjunto cerrado.