Divide x³ − 4x + 5 entre x² + 2. Indica el cociente y el resto.

Step-by-step solution

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   Escribir los dos polinomios con todas las potencias a la vista. Al dividendo le falta el término en $x^2$ y al divisor le falta el término en $x$:

   $\text{dividendo}=x^3+0x^2-4x+5,\qquad \text{divisor}=x^2+0x+2$

   Como el divisor tiene grado $2$, la división sintética no sirve y la herramienta correcta es la división larga.

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   Obtener el primer término del cociente a partir de los coeficientes principales.

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   Se multiplica el divisor por $x$: $x\left(x^2+2\right)=x^3+2x$. Se resta del dividendo:

   $\left(x^3+0x^2-4x+5\right)-\left(x^3+0x^2+2x\right)=-6x+5$

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   Comprobar si el algoritmo puede continuar. Lo que sobra, $-6x+5$, tiene grado $1$, y el divisor tiene grado $2$. Como $1<2$ ya no hay ningún término más que extraer, así que el proceso se detiene justo después de un paso:

   $\text{cociente}=x,\qquad \text{resto}=-6x+5$

   Un cociente de un solo término era lo esperable: los grados se diferencian en exactamente uno, así que el cociente tiene grado $3-2=1$.

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   Escribir las dos formas estándar de la respuesta.

   $\frac{x^3-4x+5}{x^2+2}=x+\frac{-6x+5}{x^2+2}$

   $x^3-4x+5=\left(x^2+2\right)x+(-6x+5)$

   La segunda versión es la identidad que conviene verificar, porque no tiene fracciones.

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   Verificar y observar qué indica el resto. Al desarrollar, $\left(x^2+2\right)x=x^3+2x$, y $x^3+2x-6x+5=x^3-4x+5\;\checkmark$. Como el resto no es cero, $x^2+2$ no es un factor, lo cual concuerda con que las raíces de $x^2+2$ son $x=\pm i\sqrt2$: sustituyendo $x^2=-2$ en el dividendo queda $x\cdot(-2)-4x+5=-6x+5\ne 0$, exactamente el resto.