Resuelve la ecuación 3x⁴ + 8x³ - 4x² - 16x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca factor común la x. Todos los términos llevan una $x$:

   $x\left(3x^3 + 8x^2 - 4x - 16\right) = 0$

   así que $x = 0$ es ya una raíz, y las demás salen de la cúbica.

2. 2

   No te fíes aquí de la factorización por agrupación. El movimiento tentador es $\left(3x^3 + 8x^2\right) + \left(-4x - 16\right) = x^2(3x+8) - 4(x+4)$. Los dos paréntesis son $3x+8$ y $x+4$ — no son iguales, así que la agrupación no cierra. Escribir el segundo como $-4(3x+8)$ significaría $-12x - 32$, no $-4x - 16$; ese desliz es la causa habitual de la respuesta errónea $x = -\tfrac83,\,\pm 2$ para esta ecuación.

3. 3

   Busca en su lugar una raíz racional de la cúbica. Las candidatas son $\pm\tfrac{d}{e}$ con $d \mid 16$, $e \mid 3$. Probando $x = -2$:

   $3(-8) + 8(4) - 4(-2) - 16 = -24 + 32 + 8 - 16 = 0$

   así que $(x+2)$ divide a la cúbica.

4. 4

   Divide y factoriza el cociente. Dividir $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16$ entre $(x+2)$ da $3x^2 + 2x - 8$, que se factoriza como $(3x - 4)(x + 2)$. Por tanto

   $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16 = (x+2)^2(3x-4)$

   y la factorización completa es

   $3x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 16x = x(x+2)^2(3x-4)$

5. 5

   Lee las raíces. Igualando cada factor a cero:

   $x = 0, \qquad x = -2 \ \text{(raíz doble)}, \qquad x = \frac{4}{3}$

6. 6

   Verifica. Desarrollar $x(x+2)^2(3x-4)$ devuelve exactamente los coeficientes $3,\ 8,\ -4,\ -16,\ 0$. Sustitución directa: $f(0) = 0$, $f(-2) = 48 - 64 - 16 + 32 = 0$, $f(4/3) = 0$ con un error menor que $10^{-14}$. Como $x = -2$ es raíz doble, la gráfica toca el eje ahí sin atravesarlo.