Racionaliza el denominador de (2√2 − √3)/(√3 + √2).

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica el conjugado del denominador. Para un denominador $\sqrt a+\sqrt b$ el conjugado es $\sqrt a-\sqrt b$, porque su producto es el número racional $a-b$. Aquí el conjugado de $\sqrt3+\sqrt2$ es $\sqrt3-\sqrt2$.

2. 2

   Multiplica numerador y denominador por ese conjugado.

   $\frac{2\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt3+\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$

3. 3

   Simplifica primero el denominador: es la mitad fácil.

   $\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=3-2=1$

   Un denominador igual a $1$ significa que toda la respuesta será exactamente el numerador desarrollado.

4. 4

   Desarrolla el numerador.

   $\left(2\sqrt2-\sqrt3\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=2\sqrt6-2\cdot 2-3+\sqrt6=2\sqrt6-4-3+\sqrt6$

   usando $\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6$, $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$ y $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$.

5. 5

   Reduce los términos semejantes.

   $3\sqrt6-7$

   $\boxed{3\sqrt6-7}$

6. 6

   Comprueba numéricamente. $\sqrt2=1.41421$, $\sqrt3=1.73205$, así que la expresión original vale $\dfrac{2.82843-1.73205}{1.73205+1.41421}=\dfrac{1.09637}{3.14626}=0.34847$, y $3\sqrt6-7=3(2.44949)-7=7.34847-7=0.34847$ ✓.