Descompón 1/(2n² + n) en fracciones parciales.

Step-by-step solution

1. 1

   Factorizar el denominador. Los dos términos comparten $n$:

   $2n^2+n=n(2n+1)\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n(2n+1)}$

   Dos factores lineales distintos significan un término para cada uno, sin potencias repetidas.

2. 2

   Plantear la plantilla y eliminar denominadores.

   $\frac{1}{n(2n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{2n+1}\quad\Longrightarrow\quad 1=A(2n+1)+Bn$

3. 3

   Agrupar por potencias de $n$ e igualar coeficientes.

   $1=(2A+B)n+A$

   El término constante da $A=1$; el coeficiente de $n$ tiene que anularse, así que $2A+B=0$ y por lo tanto

   $B=-2A=-2$

4. 4

   Escribir la descomposición.

   $\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{2}{2n+1},\qquad n\neq 0,\ n\neq-\tfrac12$

5. 5

   Comprobar recombinando y con números. $\tfrac{(2n+1)-2n}{n(2n+1)}=\tfrac{1}{n(2n+1)}$ $\checkmark$. En $n=1$: izquierda $=\tfrac13$, derecha $=1-\tfrac23=\tfrac13$ $\checkmark$. En $n=2$: izquierda $=\tfrac{1}{10}$, derecha $=\tfrac12-\tfrac25=\tfrac{1}{10}$ $\checkmark$. Esta descomposición es el primer paso estándar para sumar la serie $\sum\tfrac{1}{2n^2+n}$.