Factoriza x² − 4x − y² − 6y − 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Agrupa por separado los términos con x y los términos con y. El término mixto $xy$ no aparece, y esa es la pista de que la expresión puede convertirse en una diferencia de dos cuadrados perfectos:

   $\left(x^{2}-4x\right)-\left(y^{2}+6y\right)-5$

   Fíjate en que el signo menos delante del grupo de $y$ cambia el signo tanto de $y^2$ como de $6y$.

2. 2

   Completa el cuadrado en x. $x^2-4x=(x-2)^2-4$.

3. 3

   Completa el cuadrado en y. $y^2+6y=(y+3)^2-9$, de modo que $-\left(y^{2}+6y\right)=-(y+3)^{2}+9$.

4. 4

   Vuelve a juntar las constantes.

   $(x-2)^{2}-4-(y+3)^{2}+9-5=(x-2)^{2}-(y+3)^{2}$

   Las tres constantes sueltas $-4+9-5$ se cancelan exactamente, y esa es la señal de que la agrupación era la correcta.

5. 5

   Aplica la diferencia de cuadrados. Con $A=x-2$ y $B=y+3$:

   $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)=\big[(x-2)-(y+3)\big]\big[(x-2)+(y+3)\big]=(x-y-5)(x+y+1)$

   $\boxed{(x-y-5)(x+y+1)}$

6. 6

   Verifica desarrollando. $(x-y-5)(x+y+1)=x^2+xy+x-xy-y^2-y-5x-5y-5=x^2-4x-y^2-6y-5$. ✓