Resolver la inecuación (x − 3)/4 < 6 − (3 − 4x)/2 y dar el conjunto solución.

Step-by-step solution

1. 1

   Multiplicar por el mínimo común denominador, no por cada fracción por separado. Los denominadores son $4$ y $2$, así que $\operatorname{lcm}(4,2)=4$. Multiplicar una desigualdad por el número positivo $4$ deja intacto el sentido de $<$; esa es la única razón por la que este primer movimiento es seguro. (Multiplicar por un número negativo obligaría a invertir el signo.)

2. 2

   Distribuir el 4 sobre cada término de la derecha, incluido el $6$.

   $4\cdot\frac{x-3}{4}<4\cdot 6-4\cdot\frac{3-4x}{2}\ \Longrightarrow\ x-3<24-2(3-4x)$

   El error más frecuente aquí es multiplicar solo las fracciones y dejar el $6$ intacto.

3. 3

   Desarrollar el paréntesis vigilando el signo menos que lo precede. El $-2$ multiplica a ambos términos de dentro:

   $-2(3-4x)=-6+8x$

   de modo que

   $x-3<24-6+8x\ \Longrightarrow\ x-3<18+8x$

   Obsérvese que $-2\cdot(-4x)=+8x$: dos negativos dan un positivo, y por eso el término en $x$ acaba en el lado mayor.

4. 4

   Agrupar los términos en $x$ del lado que deja el coeficiente positivo. Restando $x$ en ambos lados:

   $-3<18+7x$

   Elegir esta dirección evita tener que dividir entre un número negativo, así que no hará falta ningún cambio de sentido.

5. 5

   Despejar $x$. Se resta $18$ y se divide entre el $7$ positivo:

   $-21<7x\ \Longrightarrow\ -3<x\ \Longrightarrow\ x>-3$

   En notación de intervalos, el conjunto solución es $(-3,\infty)$.

6. 6

   Probar un valor de dentro y otro de fuera. En $x=0$ (dentro): izquierda $=-\tfrac34$, derecha $=6-\tfrac32=4.5$, y $-0.75<4.5$ ✓. En $x=-4$ (fuera): izquierda $=-\tfrac74=-1.75$, derecha $=6-\tfrac{19}{2}=-3.5$, y $-1.75<-3.5$ es falso ✓. La frontera $x=-3$ da igualdad en ambos lados, lo que confirma que queda excluida.