Factoriza 6x(x − y)² + 3(y − x)(y − x)².

Step-by-step solution

1. 1

   Colapsa el segundo término en una sola potencia. El producto $(y-x)(y-x)^2$ es simplemente $(y-x)^3$:

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3$

   Escribirlo como una sola potencia deja a la vista la paridad del exponente, que es de lo que depende el paso siguiente.

2. 2

   Alinea los dos binomios con la regla de los signos. Como $y - x = -(x-y)$, una potencia impar arrastra un signo menos, mientras que una potencia par no:

   $(y-x)^3 = \left[-(x-y)\right]^3 = -(x-y)^3, \qquad (y-x)^2 = (x-y)^2$

   Este es el único paso donde se cometen casi todos los errores de signo: solo los exponentes impares cambian el signo.

3. 3

   Reescribe toda la expresión en términos de (x − y).

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3 = 6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$

   Ahora los dos términos comparten la misma base binomial, así que se puede extraer un factor común.

4. 4

   Saca el máximo factor común. El m.c.d. numérico de $6$ y $3$ es $3$, y la menor potencia del binomio es $(x-y)^2$:

   $6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3 = 3(x-y)^2\Big[2x - (x-y)\Big]$

5. 5

   Simplifica el corchete que queda.

   $2x - (x - y) = 2x - x + y = x + y$

   $\Longrightarrow \quad 6x(x-y)^2 + 3(y-x)(y-x)^2 = 3(x-y)^2(x+y)$

6. 6

   Comprueba con valores de prueba. En $(x,y) = (3,5)$ la expresión original da $6(3)(4) + 3(2)(4) = 72 + 24 = 96$, y la forma factorizada da $3(4)(8) = 96$. La misma coincidencia se cumple en $(-2, 7)$ y en $\left(\tfrac12, \tfrac13\right)$ con aritmética exacta de fracciones. Ni $(x-y)^2$ ni $x+y$ se factorizan más, así que la factorización está completa.