Factorizar 18abc² − 12a²b²c por completo.

Step-by-step solution

1. 1

   Tomar el m.c.d. de los coeficientes. $18=2\cdot 3^2$ y $12=2^2\cdot 3$, así que su máximo común divisor es $2\cdot 3=6$. Tomar solo el $2$ o solo el $3$ dejaría un resto todavía factorizable, y la factorización no estaría completa.

2. 2

   Tomar la menor potencia de cada variable que aparece en ambos términos. Se comparan exponente por exponente: $a^1$ frente a $a^2$ da $a$; $b^1$ frente a $b^2$ da $b$; $c^2$ frente a $c^1$ da $c$. La regla es siempre el exponente mínimo, así que la parte literal del factor común es $abc$.

3. 3

   Armar el factor común.

   $\gcd=6abc$

   Aquí resulta que todas las variables aparecen en ambos términos, y por eso ninguna queda fuera.

4. 4

   Dividir cada término entre $6abc$.

   $\frac{18abc^2}{6abc}=3c,\qquad \frac{12a^2b^2c}{6abc}=2ab$

   así que el paréntesis es $3c-2ab$, conservando el signo menos original entre ambos.

5. 5

   Escribir la factorización y desarrollar de vuelta.

   $18abc^2-12a^2b^2c=6abc(3c-2ab)$

   Al desarrollar: $6abc\cdot 3c=18abc^2$ y $6abc\cdot 2ab=12a^2b^2c$ ✓. Numéricamente en $a=b=c=2$: la original vale $18\cdot 16-12\cdot 32=288-384=-96$, y $6\cdot 8(6-8)=48(-2)=-96$ ✓. Al paréntesis $3c-2ab$ ya no le queda ningún factor común, así que la factorización está completa.