Para f(x) = 2 − x² y g(x) = x² + 4x − 60, halla (f + g)(x) y determina su dominio.

Step-by-step solution

1. 1

   Aplica la definición puntual de la suma de funciones. Para cada entrada $x$,

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\left(2-x^{2}\right)+\left(x^{2}+4x-60\right).$

   Los dos paréntesis se suman, así que ningún signo cambia al quitarlos.

2. 2

   Ordena los términos por grado.

   $\underbrace{\left(-x^{2}+x^{2}\right)}_{\text{cuadrático}}+\underbrace{4x}_{\text{lineal}}+\underbrace{\left(2-60\right)}_{\text{constante}}.$

3. 3

   Reúne cada grupo y observa la cancelación. Los términos cuadráticos son opuestos exactos:

   $-x^{2}+x^{2}=0,\qquad 2-60=-58,$

   de modo que

   $(f+g)(x)=4x-58.$

   La suma de dos cuadráticas suele ser cuadrática; aquí los coeficientes principales resultan ser $-1$ y $+1$, y por eso baja el grado.

4. 4

   Lee el dominio en las funciones originales, no en la respuesta simplificada. Una suma está definida allí donde lo están las dos partes. Tanto $f$ como $g$ son polinomios, definidos en todo $\mathbb{R}$, así que

   $\text{dominio}(f+g)=(-\infty,\infty).$

5. 5

   Comprueba con un valor. En $x=10$: $f(10)=2-100=-98$ y $g(10)=100+40-60=80$, así que $f(10)+g(10)=-18$; y $4(10)-58=-18$. Las fórmulas coinciden.