Si f(x) = 2 − x² y g(x) = x² + 4x − 60, ¿cuál es el dominio de f − g? Da la respuesta en notación de intervalos.

Step-by-step solution

1. 1

   Recuerda la regla para el dominio de una combinación. Para cualquiera de $f+g$, $f-g$ o $fg$, el dominio es la intersección de los dos dominios individuales:

   $\operatorname{dom}(f-g)=\operatorname{dom}(f)\cap\operatorname{dom}(g)$

   (El cociente $f/g$ es la excepción: además hay que quitar los ceros de $g$.)

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   Halla cada dominio por separado. $f(x)=2-x^2$ es un polinomio: solo involucra multiplicaciones y sumas de números reales, sin división por una variable y sin raíces de índice par. Así que

   $\operatorname{dom}(f)=(-\infty,\infty)$

   El mismo razonamiento se aplica a $g(x)=x^2+4x-60$:

   $\operatorname{dom}(g)=(-\infty,\infty)$

3. 3

   Interseca los dos dominios.

   $(-\infty,\infty)\cap(-\infty,\infty)=(-\infty,\infty)$

4. 4

   Confirma formando la diferencia explícitamente. Resta, distribuyendo el signo menos por todos los términos de $g$:

   $(f-g)(x)=\left(2-x^2\right)-\left(x^2+4x-60\right)=-2x^2-4x+62$

   El resultado vuelve a ser un polinomio, así que no hay nada en ningún punto de la recta real que pueda dejarlo sin definir.

5. 5

   Escribe la respuesta. El dominio de $f-g$ son todos los números reales:

   $(-\infty,\infty)$

   Los ceros de $g$ —las soluciones de $x^2+4x-60=0$, es decir $x=6$ y $x=-10$— son irrelevantes aquí. Solo importarían para $f/g$.