Resuelve la ecuación x³ − 6x² + 11x − 6 = 1.

Step-by-step solution

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   Pasa todo a un lado y prueba las raíces racionales. La ecuación es $x^3 - 6x^2 + 11x - 7 = 0$, así que los candidatos racionales son los divisores de $7$:

   $f(1) = -1, \quad f(-1) = -25, \quad f(7) = 119, \quad f(-7) = -721$

   Ninguno se anula. Fíjate en cómo el cambio de $-6$ a $-7$ destruye la factorización limpia que tenía el lado izquierdo original: $x = 1$ ahora falla por exactamente $1$.

2. 2

   Aprovecha la estructura del lado izquierdo. El polinomio que aparece es el producto clásico de tres factores lineales consecutivos:

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

   Así que la ecuación es en realidad $(x-1)(x-2)(x-3) = 1$: tres factores separados por enteros consecutivos cuyo producto vale $1$.

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   Centra la sustitución en el factor del medio. Sea $y = x - 2$, de modo que los tres factores pasan a ser $y+1$, $y$, $y-1$:

   $(y+1)\,y\,(y-1) = y\left(y^2-1\right) = y^3 - y$

   $\Longrightarrow \quad y^3 - y = 1, \quad \text{es decir} \quad y^3 - y - 1 = 0$

   Trasladar al punto de simetría de los factores es lo que elimina gratis el término cuadrático: no hace falta el álgebra de depresión de Cardano.

4. 4

   Cuenta las raíces reales de la cúbica deprimida. Para $y^3 + py + q$ con $p = -1$, $q = -1$, el discriminante es

   $\Delta = -4p^3 - 27q^2 = 4 - 27 = -23 < 0$

   así que $y^3 - y - 1 = 0$ tiene exactamente una raíz real y un par complejo conjugado. La raíz real es el número plástico $\rho$.

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   Evalúa la raíz real. La fórmula de Cardano da

   $\rho = \sqrt[3]{\frac12 + \sqrt{\frac{23}{108}}} + \sqrt[3]{\frac12 - \sqrt{\frac{23}{108}}} = 1.3247179572\ldots$

   El método de Newton sobre $y^3 - y - 1$ partiendo de $y_0 = 1.3$ devuelve el mismo valor con 39 cifras, así que las dos rutas coinciden.

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   Deshaz la sustitución y comprueba. Como $x = y + 2$,

   $x = 2 + \rho \approx 3.3247179572$

   Al sustituir en la original: $(x-1)(x-2)(x-3) \approx (2.3247)(1.3247)(0.3247) = 1.0000$, y evaluar $x^3-6x^2+11x-6$ con 40 cifras de precisión da $0.99999999999999999999999999999999999999$. Solo existe una solución real.