Simplifica 3√12 / (4 · raíz cúbica de 54), sin dejar ningún radical en el denominador.

Step-by-step solution

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   Simplifica cada radical antes de hacer cualquier otra cosa. Busca el mayor cuadrado perfecto dentro de la raíz cuadrada y el mayor cubo perfecto dentro de la raíz cúbica:

   $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3,\qquad \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$

   Hacer coincidir el índice con la potencia es el hábito clave: de una raíz cuadrada salen cuadrados, y de una raíz cúbica, cubos.

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   Sustituye y cancela los coeficientes racionales. La fracción queda

   $\frac{3\cdot 2\sqrt3}{4\cdot 3\sqrt[3]{2}}=\frac{6\sqrt3}{12\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}$

   Aquí solo se cancelan los números; $\sqrt3$ y $\sqrt[3]{2}$ tienen índices distintos, así que no se pueden combinar.

3. 3

   Elige el factor racionalizador correcto para una raíz cúbica. Con una raíz cuadrada basta multiplicar por la misma raíz; para $\sqrt[3]{2}$ eso no alcanza, porque $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4}$ sigue siendo irracional. Hacen falta en total tres factores 2 bajo el radical, así que multiplica arriba y abajo por $\sqrt[3]{4}$:

   $\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{8}}$

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   Termina el denominador. Como $\sqrt[3]{8}=2$,

   $\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{4}$

   El denominador es ahora el número racional $4$, como se pedía.

5. 5

   Comprueba el valor decimal. La expresión original vale $\dfrac{3\cdot 3.4641}{4\cdot 3.7798}=0.68736$, y $\dfrac{1.7321\cdot 1.5874}{4}=0.68736$. Ambas coinciden, así que la simplificación es correcta.