Resolver la inecuación (0.03y + 0.01)/0.03 − 1 < (0.7y − 0.3)/0.5 + 0.2(0.1y − 0.2)/0.15 y dar la respuesta en la forma y > ___.

Step-by-step solution

1. 1

   Separar el cociente de la izquierda término a término. Un denominador decimal se quita con más facilidad tratando un término del numerador a la vez: $\frac{0.03y+0.01}{0.03}=\frac{0.03y}{0.03}+\frac{0.01}{0.03}=y+\frac13$. Al restar el $1$, el lado izquierdo queda en $y-\frac23$.

2. 2

   Eliminar el denominador 0.5 duplicando. Dividir entre $0.5$ es multiplicar por $2$, así que $\frac{0.7y-0.3}{0.5}=2(0.7y-0.3)=1.4y-0.6$. Reconocer el recíproco es más rápido y más seguro que hacer una división larga con decimales.

3. 3

   Simplificar la tercera fracción. Primero se desarrolla el numerador: $0.2(0.1y-0.2)=0.02y-0.04$. Entonces $\frac{0.02y-0.04}{0.15}=\frac{2y-4}{15}=\frac{2}{15}y-\frac{4}{15}$, resultado de multiplicar numerador y denominador por $100$.

4. 4

   Sumar las dos piezas de la derecha con común denominador 15. Escribiendo $1.4=\frac{21}{15}$ y $0.6=\frac{9}{15}$ se obtiene $\frac{21}{15}y-\frac{9}{15}+\frac{2}{15}y-\frac{4}{15}=\frac{23}{15}y-\frac{13}{15}$.

5. 5

   Multiplicar toda la inecuación por 15. La inecuación es ahora $y-\frac23<\frac{23}{15}y-\frac{13}{15}$. Multiplicar por el número positivo $15$ conserva el sentido de la desigualdad: $15y-10<23y-13$.

6. 6

   Despejar y. Restar $15y$ y sumar $13$ en ambos lados: $3<8y$, de donde $y>\frac38$. Dividir de nuevo entre el positivo $8$ deja el sentido intacto.

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   Comprobar la frontera. En $y=\frac38$ ambos lados valen $-\frac{7}{24}$, así que el extremo queda excluido. Al probar $y=0.385$ resulta izquierda $=-0.2817$ y derecha $=-0.2763$, y $-0.2817<-0.2763$ es cierto, lo que confirma el conjunto solución.