Factorizar por completo −x⁴y + 6x³y − 5x²y.

Step-by-step solution

1. 1

   Sacar el máximo factor común monomio. Todo término contiene al menos $x^2$ y una $y$, y los coeficientes numéricos $-1,6,-5$ solo comparten el $1$:

   $-x^4y+6x^3y-5x^2y=x^2y\left(-x^2+6x-5\right)$

   Se usa la potencia más baja de cada variable: $x^2$, no $x^4$.

2. 2

   Extraer el signo menos del trinomio. Un coeficiente principal negativo dificulta ver el patrón habitual, así que conviene sacarlo:

   $-x^2+6x-5=-\left(x^2-6x+5\right)$

3. 3

   Factorizar el trinomio mónico. Dos números con producto $+5$ y suma $-6$: ambos negativos, a saber $-1$ y $-5$:

   $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$

4. 4

   Rearmar, arrastrando el signo menos.

   $x^2y\left[-(x-1)(x-5)\right]=-x^2y(x-1)(x-5)$

   Una forma igualmente válida mueve el signo dentro de un paréntesis: $x^2y(1-x)(x-5)$.

5. 5

   Desarrollar de vuelta y probar numéricamente. $-x^2y(x^2-6x+5)=-x^4y+6x^3y-5x^2y$ ✓. En $x=2$, $y=1$: la expresión original vale $-16+48-20=12$, y $-4(1)(2-1)(2-5)=-4(1)(-3)=12$ ✓. Nada se factoriza más, así que la factorización está completa.