Divide 2x⁴ − x³ − 5x² + 2x + 2 entre x − 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige la división sintética y halla el valor de prueba correcto. El divisor $x-1$ es lineal y mónico, así que se puede usar la división sintética. Iguala $x-1=0$ para obtener el valor $x=1$: fíjate en el signo, el divisor $x-1$ usa $+1$, no $-1$.

2. 2

   Escribe los coeficientes en orden, incluyendo los ceros. El dividendo tiene todos los grados presentes, así que la fila es

   $2,\ -1,\ -5,\ 2,\ 2$

   (Si faltara alguna potencia, habría que insertar un $0$ en su lugar; omitirlo es el error clásico de la división sintética.)

3. 3

   Baja el primer coeficiente y repite: multiplica por 1 y suma al coeficiente siguiente.

   $2;\quad -1+2=1;\quad -5+1=-4;\quad 2+(-4)=-2;\quad 2+(-2)=0$

   Como el valor de prueba es $1$, cada multiplicación resulta trivial y el proceso se reduce a una suma acumulada de los coeficientes.

4. 4

   Lee el cociente y el resto. Los primeros cuatro números son los coeficientes del cociente, un grado por debajo del dividendo, y el último es el resto:

   $\text{cociente}=2x^{3}+x^{2}-4x-2,\qquad \text{resto}=0$

5. 5

   Interpreta el resto cero. Por el teorema del factor, un resto $0$ significa que $x=1$ es raíz del dividendo y que $(x-1)$ es un factor genuino:

   $2x^{4}-x^{3}-5x^{2}+2x+2=(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$

   De hecho, los coeficientes del dividendo suman $2-1-5+2+2=0$, que es justamente la prueba rápida para $x=1$.

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   Comprueba multiplicando de vuelta y da un paso más. Al desarrollar $(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$ se reproduce la cuártica original ✓. La cúbica se vuelve a factorizar por agrupación: $x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$, así que la factorización completa es $(x-1)(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$ y las raíces son $1,\ -\tfrac12,\ \pm\sqrt2$.